Resume Pendidikan Matematika i Modul 8

MODUL 8

BILANGAN RASIONAL DAN BILANGAN IRASIONAL

SERTA CARA MENGAJARKANNYA

KB 1

BILANGAN RASIONAL DAN SIFAT – SIFATNYA

A.    PENGERTIAN BILANGAN RASIONAL

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dengan perbandingan (rasio)  , yang mana a adalah bilangan bulat , b adalah bilangan bulat dan b  0

a disebut pembilang ( numerator ) atau pengatas dan b disebut penyebut ( denumerator ) atau pembawah

Q = , atau

Q =

dimana :

Q = Bilangan Rasional

I = Bilangan bulat

N = bilangan asli

B.     KESAMAAN BILANGAN RASIONAL

Bilangan – bilangan rasional  dan  adalah sama, ditulis =  jika dan hanya jika ad = bc

Relasi sama dengan ( = ) pada bilangan rasional bersifat :

a.       reflektif

ab = ba dengan catatan   =

b.      simetris

cb = da dengan catatan

c.       transitif

jika  dan , maka

C.    SIFAT – SIFAT BILANGAN RASIONAL

Ø  Jika a, b, c,  I, b  0 dan c  0, maka  =

Ø  Jika a dan b mempunyai factor persekutuan terbesar 1 maka bilangan rasional  disebut sederhana

D.    PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN RASIONAL

jika p, q, r, s  I, q  0 dan s  0, maka :

a.      

b.     

c.      

jika p, q, r, s  I, q  0 dan s  0, maka :

a.      

b.     

c.      

E.     PERKALIAN DAN PEMBAGIAN BILANGAN RASIONAL

jika p, q, r, s  I, q  0 dan s  0, maka :

a.      

b.     

jika    Q dan     0 =, maka :

 

F.     SIFAT – SIFAT OPERASIONAL BILANGAN RASIONAL

1.      Sifat Ketertutupan

Jika  dan  adalah sebarang unsur Q maka    Q dan    Q

2.      Sifat Komutatif

Jika  dan  adalah sebarang unsur Q maka   dan    .

3.      Sifat Assosiatif

Jika  ,   dan adalah sebarang unsur Q maka

 + = x

4.      Sifat Identitas

Untuk sebarang    Q ada suatu 0  yang masing – masing adalah tunggal, maka

 + 0 = 0 + =

 = 1 .  

5.      Sifat Inverse

Untuk sebarang    Q ada x  Q dan y  Q yang masing – masing adalah tunggal, sehingga :

 = x +

  = 1

6.      Sifat distributive

Jika ,   dan  adalah sebarang unsur Q maka

.  +

G.    BILANGAN RASIONAL DESIMAL

Cara menuliskan pecahan dalam bentuk decimal, sbb :

1.      Tanda koma diletakkan setelah angka satuan

2.      Satu angka bilangan setelah koma menyatakan per sepuluhan

3.      Setiapa satu angka berikutnya menyatakan per seratusan, per seribuan , dst

4.      Bilangan rasional dengan penyebut 10 mempunyai satu tempat decimal, penyebut 100 mempunyai dua tempat decimal, dst.

KB 2

BILANGAN IRASIONAL DAN SIFAT – SIFATNYA

·         Bilangan irasional tidak dapat dinyatakan sebagai decimal berakhir atau decimal berulang.

·         Bilangan Irasional tidak dapat dinyatakan sebagai perbandingan  yang mana a,b  I dan b  0

·         Bentuk – bentuk bilangan irasional antara lain bentuk akar, bentuk logaritma, dan bentuk nilai fungsi trigonometri.

·         Nilai – nilai irasional tertentu dapat dicari pendekatannya dengan bentuk akar,dengan cara :

Ø  Menentukan hampiran dari nilai pendekatan, biasanya dipilih nilai yang lebih kecil dari nilai bilangannya.

Ø  Mencari hasil bagi bilangan yang di akar dengan hampiran, dengan angka decimal sesuai keinginan

Ø  Mencari nilai rata – rata bilangan hampiran dengan bilangan hasil bagi, sebutlah dengan pendekatan bilangan pertama

Ø  Mengulang langkah b dan c untuk memperoleh nilai pendekatan yang lebih baik.

KB 3

MENGAJARKAN BILANGAN RASIONAL DAN IRASIONAL DI SD

A.    MEMPERKENALKAN PECAHAN

Dapat menggunakan media bangun geometris, manik – manik, mata uang, kelerang dll

1.      Perkenalakan pecahan  ,  ,  dengan menggunakan daerah – daerah bangun geometri yang bisa dilipat- lipat atau dipotong – potong.

2.      Perkenalkan pecahan yang penyebutnya 2,4, atau 8 dan pembilangnya bukan 1 tapi kurang dari penyebutnya. misal   ,  ,

3.      Kenalkan pecahan – pecahan yang pembilangnya 1 dan penyebutnya selain 2,4 atau 8, misal   ,  ,

4.      perkenalkan pecahan – pecahan yang pembilngnya bukan 1, tetapi pembilang kurang dari penyebut, dan penyebutnya selain 2,4,8

misal  ,  ,

B.     PECAHAN CAMPURAN

Pecahan campuran dapat ditunjukkan dengan memilih atau menetapkan salah satu potongan sebagai satuan. Model atau cara ini dapat memantapkan pemahaman siswa bahan ukuran satuan dapat ditentukan atau dipilih sendiri.

contoh :

jika  ,maka   = 1

C.    PECAHAN SAMA

Bilangan pecahan yang nilainya sama disebut dengan pecahan – pecahan ekuivalen

g
c				c
a		a		a		a
u	u	u	u	u	u	u	u

 dari g = u à  dari g = 4 u

 dari g = a à  dari g = 4 u

 dari g = c à  dari g = 4 u

            Karena c = 2a = 4u maka  =  =  

D.    MENJUMLAHKAN DAN MENGURANGKAN PECAHAN

e
b			b
a		a		a
u	u	u	u	u	u
b			a
a		u
b			u

b + a = 5u maka dapat ditentukan bahwa :

 +  = 5

 

untuk pengurangan dapat menggunakan KPK

 

E.     MENGALIKAN DAN MEMBAGI PECAHAN

Dapat dilakukan dengan langkah – langkah sebagai berikut :

1.      Menentukan perkalian pembilang

2.      Menentukan perkalian penyebut

3.      Membandingkan perkalian pembilang dan perkalian penyebut

4.      menentukan hasil perkalian

Contoh =  =

di akhir pelajaran diharapkan siswa dapat memahami :

            Untuk pembagian dapar dilakukan dengan tahap – tahap sebagai berikut :

1.      Jika ada 12 bagian yang sama diberikan kepada 3 orang masing – masing menerima 4 bagian.

2.      Jika ada 12 bagian diberikan 1 orang maka akan menerima 12 bagian

3.      Jika ada  bagian untuk diberikan kepada seseorang maka bagiannya

4.      Kebalikan dari  adalah

Pada akhir pelajaran diharapkan siswa memahami

F.     MENGAJARKAN BILANGAN IRASIONAL

Bilangan irasional  dinyatakan sebagai bilangna r sehingga r x r = 2.

Siswa diminta mencoba menemukan nilai r sehingga r x r = 2.

Beberapa bilangan akar yang dapat diberikan adalah  ,  

Usahakan siswa memahami bahwa proses mencari nilai pendekatan bilangan irasional dapat dikerjakan terus menerus sampai berapa pun tempat decimal yang diinginkan.

Bilangan irasional selain yang mempunyai bentuk akar, misalnya